Question

15．如图，在体积为16的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是DD₁的中点，DD₁=2AD．
（1）求棱BC的长；
（2）求异面直线AD₁与C₁M所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AD²×2AD=16，求出AD，即可求棱BC的长；
（2）由于AD₁与BC₁平行且相等，故∠BC₁M （或其补角）为异面直线AD₁与C₁M所成角，△MBC₁中，由余弦定理求出 cos∠BC₁M 的值，即可得到∠BC₁M  的值．

解答 解：（1）由题意可得AD²×2AD=16，∴AD=2，∴BC=2…4分
（2）连BC₁，则BC₁∥AD₁，∴∠MC₁B或其补角为直线AD₁与C₁M所成的角 …6分
在△MC₁B中，$M{C_1}=2\sqrt{2}，B{C_1}=2\sqrt{5}，MB=2\sqrt{3}$，∴$cos∠M{C_1}B=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
直线AD₁与C₁M所成角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…12分．

点评 本题考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，属于中档题．