Question

6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-4=0．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C₁上一点，求点P到曲线C₂的距离|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，将C₁的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得到曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式，即可求点P到曲线C₂的距离|PQ|的最大值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数θ得，曲线C₁的普通方程得$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．…（3分）
由ρcosθ-ρsinθ-4=0得，曲线C₂的直角坐标方程为x-y-4=0．     …（5分）
（2）设P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），则点P到曲线C₂的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-2cos（θ+\frac{π}{6}）}{\sqrt{2}}$ …（8分）
当cos（θ+$\frac{π}{6}$）=-1时，d有最大值3$\sqrt{2}$，所以|PQ|的最大值为3$\sqrt{2}$．      …（10分）

点评 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．