Question

8．昌平区在滨河公园举办中学生冬季越野赛．按年龄段将参赛学生分为A，B，C三个组，各组人数如下表所示．组委会用分层抽样的方法从三个组中选出6名代表．

组别	A	B	C
人数	100	150	50

（ I）  求A，B，C三个组各选出代表的个数；
（ II） 若从选出的6名代表中随机抽出2人在越野赛闭幕式上发言，求这两人来自同一组的概率P₁；
（ III）若从所有参赛的300名学生中随机抽取2人在越野赛闭幕式上发言，设这两人来自同一组的概率为P₂，试判断P₁与P₂的大小关系（不要求证明）．

Answer 1

分析 （I）先求出样本容量与总体容量的比，由此能求出A，B，C三个组各选出的代表的个数．
（II）设来自A，B，C三个组的代表分别为a₁，a₂，b₁，b₂，b₃，c．利用列举法能求出这两名代表来自同一组的概率．
（III）利用等可能事件概率计算公式能得到P₂＞P₁．

解答 （本小题满分14分）
解：（I）因为样本容量与总体容量的比是$\frac{6}{100+150+50}=\frac{1}{50}$，
所以A，B，C三个组各选出的代表的数量分别为：$100×\frac{1}{50}=2，150×\frac{1}{50}=3，50×\frac{1}{50}=1$．
所以A，B，C三个组各选出的代表的个数分别为2，3，1．…（4分）
（II）设来自A，B，C三个组的代表分别为a₁，a₂，b₁，b₂，b₃，c．
则从6名代表中任意取出两人的所有结果所构成的基本事件空间：
Ω={（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，c），（a₂，b₁），
（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，c），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₁，c），
（b₂，b₃），（b₂，c），（b₃，c）}，共15个基本事件．
记事件D=“抽出的两个代表来自同一组”．
则D={（a₁，a₂），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，b₃）}，共4个基本事件．
所以这两名代表来自同一组的概率${P_1}=\frac{4}{15}$．…（11分）
（III）P₂＞P₁．…（14分）

点评 本题考查概率的求法，考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．