Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点为F₁（-1，0），且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为$\sqrt{2}-1$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l过点$（{0，\sqrt{2}}）$且与椭圆C₁相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出c，a，然后求出b，即可得到椭圆方程．
（2）判断直线的斜率是存在的，设出直线方程与椭圆方程联立，利用相切判别式为0，求解直线斜率得到直线方程．

解答 解：（1）椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点为F₁（-1，0），可得c=1，
且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为$\sqrt{2}-1$．即a-c=$\sqrt{2}-1$，∴a=$\sqrt{2}$，b=1．
椭圆C₁的方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
 （2）由题意，显然设直线l必存在斜率，又直线过点$（{0，\sqrt{2}}）$，
∴设所求直线l的方程为：$y=kx+\sqrt{2}$，
联立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+\sqrt{2}\end{array}\right.$，
消元化简得：$（{2{k^2}+1}）{x^2}+4\sqrt{2}kx+2=0$，
要使直线l与此椭圆相切，只需：$△={（{4\sqrt{2}k}）^2}-4（{2{k^2}+1}）×2=0$，
解得${k^2}=\frac{1}{2}，k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以所求直线方程为：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\sqrt{2}或y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\sqrt{2}$，
即：$x-\sqrt{2}y+2=0或x+\sqrt{2}y+2=0$（12分）．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．