Question

8．已知曲线C₁：y=e^x上一点A（x₁，y₁），曲线C₂：y=1+ln（x-a）（a＞0）上一点B（x₂，y₂），当y₁=y₂时，对任意的x₁，x₂，都有|AB|≥e，则a的最小值为e-1．

Answer 1

分析 当y₁=y₂时，对于任意x₁，x₂，都有|AB|≥e恒成立，可得：${e}^{{x}_{1}}$=1+ln（x₂-a），x₂-x₁≥e，一方面0＜1+ln（x₂-m）≤${e}^{{x}_{2}-e}$，x₂＞a+$\frac{1}{e}$．利用lnx≤x-1（x≥1），考虑x₂-m≥1时．可得1+ln（x₂-m）≤x₂-m，令x₂-m≤${e}^{{x}_{2}-e}$，可得m≥x-e^x-e，利用导数求其最大值即可得出．

解答 解：当y₁=y₂时，对于任意x₁，x₂，都有|AB|≥e恒成立，可得：${e}^{{x}_{1}}$=1+ln（x₂-a），x₂-x₁≥e，
∴0＜1+ln（x₂-a）≤${e}^{{x}_{2}-e}$，∴x₂＞a+$\frac{1}{e}$
∵lnx≤x-1（x≥1），考虑x₂-a≥1时．
∴1+ln（x₂-a）≤x₂-a，
令x₂-a≤${e}^{{x}_{2}-e}$，
化为a≥x-e^x-e，x＞a+$\frac{1}{e}$．
令f（x）=x-e^x-e，则f′（x）=1-e^x-e，可得x=e时，f（x）取得最大值．
∴a≥e-1．
∴a的最小值为e-1．
故答案为e-1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、方程的解法、等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．