Question

11．在平面直角坐标系xOy中，直线L的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，OX轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（1）求直线L和曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P（$\sqrt{3}$，2），求|AB|和|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{3}$cosθ得ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，再化为直角坐标方程，将直线L的参数方程消参后化为直线的一般式方程；
（2）将直线L的参数方程代入圆的方程消去x后，利用根与系数的关系列出关系式并判断出符号，由参数的几何意义求出|AB|和|PA|+|PB|．

解答 解：（1）∵曲线C的方程为ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，∴ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，
化为直角坐标方程为x²+y²=2$\sqrt{3}$x，
即$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=3$；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$得$x+y=2+\sqrt{3}$，则直线L$x+y-2-\sqrt{3}=0$ …（5分）
（2）把直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入圆的方程$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=3$，
化简得${t}^{2}-2\sqrt{2}t+1=0$，
由根与系数的关系知，t₁+t₂=$2\sqrt{2}＞0$，t₁t₂=1＞0，
∴t₁，t₂是两个正实数根，
由参数的几何意义得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=$2\sqrt{2}$  …（10分）

点评 本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的互化，根与系数的关系，以及参数的几何意义，考查化简、变形能力．