Question

函数f(x)=

2x-1

2x+1

  (x∈R)．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f（1-m）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，计算f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，即可证明函数f（x）在R上为单调增函数．
（2）根据函数的定义域为R，且f（-x）=-f（x），从而得到函数f（x）为奇函数．
（3）由f（1-m）+f（2m-3）＜0，可得 f（1-m）＜f（3-2m），1-m＜3-2m，由此解得m的范围．

解答：解：（1）函数f（x）在R上为单调增函数．
证明：∵f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，…（2分）
则f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．…（4分）
∵x1＜x2

， ∴ 0＜2x1＜

2x2，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，∴函数f（x）在R上为单调增函数．…（6分）
（2）∵函数的定义域为R，且 f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴函数f（x）为奇函数．…（11分）
（3）由f（1-m）+f（2m-3）＜0，可得f（1-m）＜-f（2m-3）．
因为f（x）为奇函数，∴f（1-m）＜f（3-2m），…（14分）
∴1-m＜3-2m，解得m＜2，
∴原不等式的解集为{m|m＜2}．…（16分）

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的定义及应用，指数型复合函数性质，属于中档题．