Question

已知函数，其中为实数，常数.

(1) 若是函数的一个极值点，求的值；

(2) 当时，求函数的单调区间；

(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；

（2）的单调增区间是，；的单调减区间是，，；

（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对求导，由于是函数的一个极值点，所以，解出a的值，需验证，当时，是否有极值点；第二问，把代入，对求导，利用，解不等式，解出函数的单调递增递减区间；第三问，对求导，令，讨论三种情况，来决定方程有没有根，再分别数形结合看与的图象是否有三个交点.

试题解析：(1) （2分）

因为是函数的一个极值点，所以，

即.

而当时，，

可验证：是函数的一个极值点.因此. （4分）

(2) 当时，

令得，解得，而.

所以当变化时，、的变化是

			极小值			极大值

 

因此的单调增区间是，；

的单调减区间是，，； （9分）

(3) 当取正实数时，，

令得，

当时，解得.

在和上单调递增，在上单调递减，

但是函数值恒大于零，极大值，极小值，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当时，，当时，.因此当时，关于的方程一定总有三个实数根，结论成立；

当时，的单调增区间是，无论取何值，方程最多有一个实数根，结论不成立.

因此所求的取值范围是. （12分）

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.