Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=

8x-8，1≤x＜ 3 2 -8x+16， 3 2 ≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，则关于x的方程2ⁿf（x）-1=0（n∈N^*）的所有解的和为　（　　）

• A、3n²+3n
• B、3×2ⁿ⁺²+9
• C、3ⁿ⁺²+6
• D、9×2ⁿ⁺¹-3

Answer 1

考点：数列的求和,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：作出函数y=f（x），yn=

1

2n

的图象：当n=1时，方程f（x）=

1

2

的所有根之和为：2×

3

2

+2×3+2×6+12=3×（1+2+2²+2²）．依此类推：取n时，方程f（x）=

1

2n

的所有根之和为：3（1+2+2²+…+2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹），即可得出．

解答： 解：根据f（x）=

8x-8，1≤x＜ 3 2 -8x+16， 3 2 ≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，y₁=

1

2

，y₂=

1

4

，…，yn=

1

2n

．
作出图象：
当n=1时，方程f（x）=

1

2

的所有根之和为：
2×

3

2

+2×3+2×6+12=3+6+12+12=3×（1+2+2²+2²）．
依此类推：取n时，方程f（x）=

1

2n

的所有根之和为：
3（1+2+2²+…+2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹）
=3×

2n+2-1

2-1

+3×2ⁿ⁺¹
=9×2ⁿ⁺¹-3．
故选：D．

点评：本题考查了函数图象、方程的实数根转化为函数图象的交点、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．