Question

已知点P为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点．O为坐标原点，若(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0且△PF₁F₂的面积为

2

2

ac（c为椭圆半焦距）则椭圆的离心率为

2

2

．

Answer 1

分析：先确定△PF₁F₂为直角三角形，再结合椭圆的定义，三角形的面积，建立方程，即可求得结论．

解答：解：由题意，∵若(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，∴△PF₁F₂为直角三角形
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=2a，

1

2

mn=

2

2

ac，m²+n²=4c²，
∴4a²-2

2

ac=4c²，
∴e²+

2

2

e-1=0
∵0＜e＜1，∴e=

2

2

故答案为：

2

2

点评：本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．