Question

8．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，且acsinB=2$\sqrt{3}$sinC，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=3．

Answer 1

分析 根据余弦定理和正弦定理将条件进行化简，结合向量数量积的定义进行求解即可．

解答 解：在△ABC中，∵a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，
∴由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则C=$\frac{π}{6}$，
∵acsinB=2$\sqrt{3}$sinC，
∴由正弦定理得ac•b=2$\sqrt{3}$c，
即ab=2$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cosC=abcosC=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查向量数量积的求解，根据正弦定理和余弦定理进行化简是解决本题的关键．考查学生的转化能力．