Question

对任意的x∈R，e^x≥ax+x+1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：构造函数f（x）=e^x-ax-x-1，利用导数求其最小值为a-aln（a+1）-ln（a+1），把对任意的x∈R，
e^x≥ax+x+1恒成立转化为f（x）的最小值恒大于等于0，进一步构造函数g（t）=t-tln（t+1）-ln（t+1）（t＞-1），再利用导数求得该函数的最大值为0，则说明只有当t=0，即a=0时，对任意的x∈R，
e^x≥ax+x+1恒成立．

解答： 解：令f（x）=e^x-ax-x-1，
得f′（x）=e^x-a-1，令f′（x）=0，得x=ln（a+1），
当x＜ln（a+1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞ln（a+1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故当x=ln（a+1）时，f（x）取最小值为：
f（ln（a+1））=e^ln（a+1）-aln（a+1）-ln（a+1）-1=a-aln（a+1）-ln（a+1）．
于是对一切x∈R，e^x≥ax+x+1恒成立，当且仅当a-aln（a+1）-ln（a+1）≥0．
令g（t）=t-tln（t+1）-ln（t+1）（t＞-1），
则g′(t)=1-ln(t+1)-

t

t+1

-

1

t+1

=-ln（t+1），
当-1＜t＜0时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t＞0时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．
故当t=0时，g（t）取最大值g（0）=0．
因此，当且仅当a=0时，a-aln（a+1）-ln（a+1）≥0成立．
综上所述，a的取值集合为{0}．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，属中高档题．