Question

1．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且3f（x）+xf'（x）＜0，则不等式（x+2016）³f（x+2016）+8f（-2）＜0的解集是（-2018，-2016）．

Answer 1

分析 根据条件，构造函数g（x）=x³f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（-∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．

解答 解：构造函数g（x）=x³f（x），g′（x）=x²（3f（x）+xf′（x））；
当x＜0时，
∵3f（x）+xf′（x）＜0，x²＞0；
∴g′（x）＜0；
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减；
g（x+2016）=（x+2016）³f（x+20165），g（-2）=-8f（-2）；
∴由不等式（x+2016）³f（x+2016）+8f（-2）＜0得：
（x+2016）³f（x+2016）＜-8f（-2）
∴g（x+2016）＜g（-2）；
∴x+2016＞-2，且x+2016＜0；
∴-2018＜x＜-2016；
∴原不等式的解集为（-2018，-2016）．
故答案为：（-2018，-2016）

点评 本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，然后根据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可．