Question

12．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{5}{3}$，+∞）
• B． [$\frac{5}{4}$，+∞）
• C． （1，$\frac{5}{3}$]
• D． （1，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 将x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和y=±$\frac{b}{a}$x，求出A，B，C，D的坐标，由两点之间的距离公式求得|AB|，|CD|，由|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，求得a和c的关系，根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围．

解答 解：当x=c时代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，则A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），则AB=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
将x=c代入y=±$\frac{b}{a}$x得y=±$\frac{bc}{a}$，则C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
则|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$≥$\frac{3}{5}$×$\frac{2bc}{a}$，即b≥$\frac{3}{5}$c，
则b²≥$\frac{9}{25}$c²=c²-a²，
即$\frac{16}{25}$c²≥a²，
则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，则e≥$\frac{5}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．