Question

9．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范围是[-9，0]．

Answer 1

分析 以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设出点M（x，y），表示出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$，求出它的最值即可．

解答 解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示；
且圆O的直径为AB，
设M（x，y），
则A（4，0），B（-4，0），
$\overrightarrow{MA}$=（4-x，-y），
$\overrightarrow{MB}$=（-4-x，-y）；
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（4-x）（-4-x）+（-y）²=x²+y²-16，
又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，
所以16-9≤x²+y²≤16，
即7≤x²+y²≤16，其中最小值在CD的中点时取得，
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范围是[-9，0]．
故答案为：[-9，0]．

点评 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$，是综合性题目．