Question

6．某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段．已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第x天的实验需投入实验费用为（px+280）元（x∈N^*），实验30天共投入实验费用17700元．
（1）求p的值及平均每天耗资最少时实验的天数；
（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验x天共赞助（-qx²+50000）元（q＞0）．为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求q的取值范围．（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）

Answer 1

分析 （1））依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为p，首项为p+280，可得方程，即可得出结论；
（2）设平均每天实际耗资为y元，则y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20-（-q{x}^{2}+50000）}{x}$=（10+q）x+$\frac{50000}{x}$+290，分类讨论，可得结论．

解答 解：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为p，首项为p+280，
∴试验30天共花费试验费用为30（p+280）+$\frac{30×9}{2}×p$=17700，
解得，p=20…（2分）
设试验x天，平均每天耗资为y元，则
y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20}{x}$=10x+$\frac{100000}{x}$+290≥2290…（4分）
当且仅当10x=$\frac{100000}{x}$，即x=100时取等号，
综上得，p=20，试验天数为100天…（6分）
（2）设平均每天实际耗资为y元，则
y=$\frac{100000+300x+\frac{x（x-1）}{2}×20-（-q{x}^{2}+50000）}{x}$=（10+q）x+$\frac{50000}{x}$+290…（8分）
当x=$\sqrt{\frac{50000}{10+q}}$≥50，即0＜q≤10时，
y≥2$\sqrt{（10+q）•50000}$+290，因为0＜q≤10，
所以，y_min=2$\sqrt{（10+q）•50000}$+290≤2290，…（10分）
当x=$\sqrt{\frac{50000}{10+q}}$＜50，即q＞10时，当x=50时，y取最小值，
且y_min=（10+q）•50+$\frac{50000}{50}$+290＞2290，
综上得，q的取值范围为（0，10]…（12分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，确定函数解析式是关键．