Question

 

    在长方体中，，过、、三点的平面截去

    长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体

    积为。

   （I）求棱的长；

   （Ⅱ）在线段上是否存在点P，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由；

   （Ⅲ）求平面与平面所成二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）设，因为几何体的体积为

所以，

即

即，解得

所以的长为4.

（Ⅱ）在线段上存在点使直线与垂直。

以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立如图的

空间直角坐标系

由已知条件与（I）可知，，

假设在线段上存在点使直线

与垂直。

则过点作交于点

由题易证得

所以，所以，所以。

因为，所以，即，所以

此时点的坐标为，且在线段上

因为，所以

所以在线段上存在点，使直线与垂直，且线段的长为（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知所以

设平面的一个法向量为，

则，解得

所以

因为平面的一个法向量为，且平面与平面所成的二面角是一个锐角、所以（12分）