Question

9．在Rt△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，D是AB边上的动点，设BD=x，把△BDC沿DC翻折为△B′DC，若存在某个位置，使得异面直线B′C与AD所成的角为$\frac{π}{3}$，则实数x的取值范围是（　　）

• A． 0＜x＜$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$＜x＜2
• C． 0＜x＜$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$＜x＜2

Answer 1

分析 把△BDC沿DC翻折，形成了一个圆锥．过点C作CE∥AB，则AB与B′C所成的角等于CE与B′C所成的角，设AB与BC所成的角的大小为θ，设∠BCD=α．可得30^°＜θ＜2α+30^°，2α+30^°＞60^°，α＞15^°，∠BDC＜135^°．△BCD中，利用正弦定理可得$\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{BD}{sinα}$，可得$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinα}{sin∠BDC}$＞$\frac{sin1{5}^{°}}{sin13{5}^{°}}$，即可得出．

解答 解：把△BDC沿DC翻折，形成了一个圆锥．过点C作CE∥AB，则AB与B′C所成的角等于CE与B′C所成的角，设AB与BC所成的角的大小为θ，设∠BCD=α．
则30^°＜θ＜2α+30^°，2α+30^°＞60^°，∴α＞15^°，∴∠BDC＜135^°．
△BCD中，$\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{BD}{sinα}$，∴$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinα}{sin∠BDC}$＞$\frac{sin1{5}^{°}}{sin13{5}^{°}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴x＞$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，又x＜2．
∴$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$＜x＜2．
故选：B．

点评 本题考查了空间位置关系、正弦定理、空间想象能力、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．