Question

已知曲线C：

x2

4

+

y2

9

=1，直线l：

x=2+t y=2-2t

（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：

x2

4

+

y2

9

=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=3sinθ

，（θ为参数）．
对于直线l：

x=2+t  ① y=2-2t  ②

，
由①得：t=x-2，代入②并整理得：2x+y-6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为d=

5

5

|4cosθ+3sinθ-6|．
则|PA|=

d

sin30°

=

2 5

5

|5sin(θ+α)-6|，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为

22 5

5

．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为

2 5

5

．

点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．