吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动.有N人参加.现将所有参加人员按年龄情况分为[20.25).[25.30).[30.35).[35.40).[40.45).[45.50).[50.55)等七组.其频率分布直方图如图所示．已知[35.40)之间的参加者有8人．之间的参加者人数N1,和[35.40)两组各有2名数学教师.现从这两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．
（Ⅰ）求N和[30，35）之间的参加者人数N₁；
（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；
（Ⅲ）组织者从[45，55）之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

分析（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₄=0.04×5=0.2，从而$N=\frac{8}{0.2}=40$，由此能求出[30，35）之间的志愿者人数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人，设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B；从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C，由此推导出女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答解：（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₄=0.04×5=0.2，所以$N=\frac{8}{0.2}=40$…（2分）
由题意P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆+P₇=1，而P₃=1-（P₁+P₂+P₄+P₅+P₆+P₇）=1-5（0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3
∴[30，35）之间的志愿者人数N₁=40×P₃=40×0.3=12人…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人
设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B；
从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C，
因为两组的选择互不影响，为相互独立事件，
$P（B）=1-P（\overline B）=1-\frac{{C_{10}^2}}{{C_{12}^2}}=\frac{7}{22}$$P（C）=1-P（\overline C）=1-\frac{C_6^2}{C_8^2}=\frac{13}{28}$
所以$P（BC）=P（B）P（C）=\frac{13}{88}$…（6分）
[45，55）之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师，
从中选取3人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3…（8分）
所以$P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$；$P（ξ=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$；$P（ξ=3）=\frac{C_4^3C_2^0}{C_6^3}=\frac{1}{5}$…（10分）
所以分布列为