Question

4．函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-x，x＞0}\\{\frac{1}{2}-|{\frac{1}{2}+x}|，x≤0}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx-k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为$（1，+∞）∪\left\{{-\frac{1}{3}}\right\}$．

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，利用数形结合建立条件关系进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
y=kx-k=k（x-1），过定点A（1，0），
当x=-$\frac{1}{2}$时，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
当直线经过点B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）时，f（x）与y=kx-k有两个不相同的交点，
此时$\frac{1}{2}$=k（-$\frac{1}{2}$-1）=-$\frac{3}{2}$k，
即k=-$\frac{1}{3}$，
当x＞0时，由f（x）=kx-k得x²-x=kx-k，
即x²-（1+k）x+k=0，
若此时f（x）=kx-k有两个不相等的实数根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=（1+k）^{2}-4k=（k-1）^{2}＞0}\\{k＞1}\end{array}\right.$，
即k＞1，
综上k＞1或k=-$\frac{1}{3}$，
故答案为：$（1，+∞）∪\left\{{-\frac{1}{3}}\right\}$

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．