Question

3．对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙$b=\left\{\begin{array}{l}{a，a-b≤2}\\{b，a-b＞2}\end{array}\right.$，设f（x）=3^x+1⊙（1-x），若函数f（x）与函数g（x）=x²-6x在区间（m，m+1）上均为减函数，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-1，2]
• B． （0，3]
• C． [0，2]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由已知可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，函数g（x）=x²-6x在（-∞，3]上为减函数，由函数f（x）与函数g（x）=x²-6x在区间（m，m+1）上均为减函数，可得答案．

解答 解：令3^x+1-（1-x）=2，
则x=0，
故f（x）=3^x+1⊙（1-x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+1，x≥0\\{3}^{x+1}，x＜0\end{array}\right.$，
故f（x）在[0，+∞）上为减函数，
又∵函数g（x）=x²-6x在（-∞，3]上为减函数，
故若函数f（x）与函数g（x）=x²-6x在区间（m，m+1）上均为减函数时，
m≥0且m+1≤3，
解得：m∈[0，2]．
故选：C

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．