Question

已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明；
（3）若f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的图象关于原点对称可得f（-x）+f（x）=0，即log_a

1-mx

x-1

+log_a

1+mx

-x-1

=0，从而解得；
（2）先判断当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；再利用复合函数的单调性证明；
（3）由f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1知f（x）在（2，+∞）上单调递增；且log_a3＞-1，从而解得．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
即log_a

1-mx

x-1

+log_a

1+mx

-x-1

=0，
即（

1-mx

x-1

）（

1+mx

-x-1

）=1；
即1-m²x²=1-x²；
故m=1或m=-1；
若m=1，则

1-x

x-1

=-1，不成立；
若m=-1，则由

1+x

x-1

＞0得，
x＞1或x＜-1；
故m=-1；
（2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
证明如下，
f（x）=log_a

1+x

x-1

=log_a（1+

2

x-1

），
∵y=1+

2

x-1

在（1，+∞）上单调递减，
而当a＞1时，y=log_ax在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，y=log_ax在（0，+∞）上单调递减，
故f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（3）f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1，
故f（x）在（2，+∞）上单调递增；且log_a3＞-1，
即0＜a＜

1

3

；
故a的取值范围为（0，

1

3

）．

点评：本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题的应用，属于基础题．