Question

10．正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，连接A'C'，A'D，A'B，BD，BC'，C'D，得到一个三棱锥A'-BC'D．求：
（1）求异面直线A'D与C'D′所成的角；
（2）三棱锥A'-BC'D的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A'D与C'D′所成的角．
（2）求出平面BC'D的法向量，从而求出点A到平面BC'D的距离，由此能求出三棱锥A'-BC'D的体积．

解答 解：（1）∵正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A′（a，0，a），D（0，0，0），C′（0，a，a），B（a，a，0），D′（0，0，a），
$\overrightarrow{{A}^{'}D}$=（-a，0，-a），$\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}$=（0，-a，0），
设异面直线A'D与C'D′所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}D}•\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}D}|•|\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}|}$=0，
∴θ=90°，
∴异面直线A'D与C'D′所成的角为90°．
（2）$\overrightarrow{DB}$=（a，a，0），$\overrightarrow{D{C}^{'}}$=（0，a，a），$\overrightarrow{D{A}^{'}}$=（a，0，a），
设平面BC'D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ax+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}^{'}}=ay+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
点A到平面BC'D的距离d=$\frac{|\overrightarrow{D{A}^{'}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，
${S}_{△B{C}^{'}D}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
∴三棱锥A'-BC'D的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BC{D}^{'}}$×d=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{1}{3}$a³．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．