Question

7．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次APEC知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．
（1）试确定受奖励的分数线；
（2）从受奖励的20人中选3人在主会场服务，记3人中成绩在90分以上的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出受奖励分数线在80～90之间，设受奖励分数线为x，则（90-x）×0.02+0.012×10=0.20，由此能求出受奖励分数线．
（2）受奖励的20人中，分数在86～90的人数为8，分数在90～100的人数为12，从受奖励的20人中选3人在主会场服务，3人中成绩在90分以上的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图知，
竞赛成绩在90～100分的人数为0.012×10×100=12，
竞赛成绩在80～90的人数为0.02×10×100=20，
故受奖励分数线在80～90之间，
设受奖励分数线为x，则（90-x）×0.02+0.012×10=0.20，解得x=86，
故受奖励分数线为86…（6分）
（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在86～90的人数为8，
分数在90～100的人数为12，
故从受奖励的20人中选3人在主会场服务，3人中成绩在90分以上的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，…（7分）
故$P（{ξ=0}）=\frac{C_8^3}{{C_{20}^3}}=\frac{14}{285}，P（{ξ=1}）=\frac{{C_{12}^1C_8^2}}{{C_{20}^3}}=\frac{28}{95}，P（{ξ=2}）=\frac{{C_{12}^2C_8^1}}{{C_{20}^3}}=\frac{44}{95}，P（{ξ=3}）=\frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}}=\frac{11}{57}$，
故ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{14}{285}$	$\frac{28}{95}$	$\frac{44}{95}$	$\frac{11}{57}$

…（11分）
$Eξ=0×\frac{14}{285}+1×\frac{28}{95}+2×\frac{44}{95}+3×\frac{11}{57}=1.8$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型机变量概率分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．