Question

设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.

（1）设函数，其中为实数

①求证：函数具有性质，②求函数的单调区间．

（2）已知函数具有性质，给定，，且，若||<||，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）①祥见解析；②当b2时，在区间（1，+∞）上递增；

当b＞2时，在（1，）上递减；在[，+∞）上递增．

（2）.

【解析】

试题分析：（1）①先求出函数的导函数，然后将其配凑成这种形式，再说明h（x）对任意的x∈（1，+）都有h（x）＞0，即可证明函数具有性质P（b）；

②根据第一问令，讨论对称轴与2的大小，当b2时，对于x＞1，（x）＞0，所以＞0，可得在区间（1，+）上单调性，当b＞2时，（x）图象开口向上，对称轴，可求出方程（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定（x）的符号，得到的符号，最终求出单调区间．

（2）由题设知，函数g（x）得导数，其中h（x）＞0对于任意得x（1，+）都成立，当x＞1时，，从而g（x）在（1，+）上单调递增，分

①m（0，1）②m0③m1三种情况讨论求解m得范围即可.

试题解析：（1）①∵时，恒成立，∴函数具有性质；

②当b≤2时，对于x＞1，

所以，故此时在区间（1，+∞）上递增；

当b＞2时，（x）图象开口向上，对称轴，

方程的两根为：，

而 ＞１，

当 x∈（1，）时，，

故此时在区间 （1，）上递减；

同理得：在区间[，+）上递增．

综上所述，当b2时，在区间（1，+）上递增；

当b＞2时，在 （1，）上递减；在[，+∞）上递增．

（2）由题设知，函数得导数，其中h（x）＞0对于任意得x（1，+）都成立

当x＞1时，，从而在（1，+）上单调递增

①当m（0，1），，且

∴；同理可得

由的单调性可知，

从而有符合题意

②当时，

β=（1-m）x1+mx2（1-m）x1+mx1=mx1

于是由及的单调性可知

与题设不符，

③当时，同理可得，进而可得与题设不符；

综合①②③可得

考点：1.比较大小；2.利用导数研究函数的单调性.