Question

已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．
（1）求证：；
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据柯西不等式，得≥（5x+4y+3z）²
因为5x+4y+3z=10，从而得出结论．
（2）先根据均值不等式，得，再根据柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²即可求出最小值．
解答：解：（1）根据柯西不等式，得≥（5x+4y+3z）²
因为5x+4y+3z=10，所以．
（2）根据均值不等式，得，
当且仅当x²=y²+z²时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²=100，
即  （x²+y²+z²）≥2，当且仅当时，等号成立．
综上，．
点评：本小题主要考查一般形式的柯西不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．