Question

11．定义max{{x，y}=$\left\{\begin{array}{l}x，x≥y\\ y，x＜y\end{array}$，设f（x）=max{a^x-a，-log_ax}（x∈R⁺，a＞0，a≠1）．若a=$\frac{1}{4}$，则f（2）+f（${\frac{1}{2}}$）=$\frac{3}{4}$；若a＞1，则不等式f（x）≥2的解集是$\{x|0＜x≤\frac{1}{a^2}$或x≥log_a（a+2）}．

Answer 1

分析 第一空，求出分段函数的解析式，然后求解函数值即可．第二空，利用分段函数列出不等式求解即可．

解答 解：a=$\frac{1}{4}$，f（x）=max{（$\frac{1}{4}$）^x-$\frac{1}{4}$，-log$\frac{1}{4}$x}=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{4}）^{x}-\frac{1}{4}，0＜x≤1}\\{-lo{g}_{\frac{1}{4}}x，x＞1}\end{array}\right.$，
则f（2）+f（${\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
不等式f（x）≥2，可得a^x-a≥2，解得x≥log_a（a+2），-log_ax≥2，解得$0＜x≤\frac{1}{{a}^{2}}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$，$\{x|0＜x≤\frac{1}{a^2}$或 x≥log_a（a+2）}，

点评 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．