Question

4．在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机选取两条对角线，则这两条对角线构成异面直线的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{7}{15}$
• D． $\frac{9}{20}$

Answer 1

分析 先根据分类计数原理求出两条对角线构成异面直线对数，再求出从16条对角线任取2条的对数，根据概率公式计算即可．

解答 解：正方体的12条面对角线中每一条对角线都有5条和它是异面直线，共有12×5对异面，在这里每一条都重复两次，
故两条面对角线异面的有（5×12）÷2=30对，
任何一条面对角线都与其中的2条体对角线是异面直线，故有12×2=24对，
任何4条体对角线中都不是异面直线，
故这两条对角线构成异面直线共有30+24=54对，
从16条对角线任取2条，共有C₁₆²=120对，
故这两条对角线构成异面直线的概率为$\frac{54}{120}$=$\frac{9}{20}$，
故选：D．

点评 本题考查根据实际情况求事件发生的概率，概率与几何体结合考查，是近几年高考的一个热点，即考查了概率的基础知识，也考查了立体几何的空间想像能力，学习时要注意这两个知识点之间的衔接，属于中档题．