Question

（本小题满分12分）

设是定义在 上的函数,满足条件:

①； ②当时,恒成立.

（Ⅰ）判断在上的单调性,并加以证明；

（Ⅱ）若,求满足的x的取值范围.

 

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）所谓抽象函数即为解析式不知的函数，抽象函数是高中数学的难点，对抽象函数的研究常要通过函数的性质来体现，如函数的单调性、周期性和奇偶性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．（Ⅱ）利用及将转化为，再利用单调性即可解决.

试题解析：（Ⅰ） 为定义域上的增函数； 1分

设任意且 ，

因为，所以，

取 ，则 ，即 3分

因为且，所以

又当时,恒成立，所以

即，所以 是 上的增函数. 6分

（Ⅱ）因为，

可转换为 9分

所以，解得，所以x的取值范围为 12分

考点：函数性质的综合应用.