Question

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=A,BC=2B.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.

（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？

（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：由题设可知A>B>0,记h=,设P的坐标为（0,y），则P至三镇距离的平方为 f(y)=2(B2+y2)+（h－y）2 =3(y－)2+h2+2B2. 所以，当y=时，函数f(y)取得最小值. 答：点P的坐标是（0，）. （2）P至三镇的最远距离为 由≥|h－y|解得y≥，记y*=,于是 当y*≥0,即h≥B时，z=g(y)的图象如图（A），因此，当y=y*时，函数g(y)取得最小值. 当y*<0，即h<B时，z=g(y)的图象如图（B），因此，当y=0时，函数g(y)取得最小值.   答：当h≥B时，点P的坐标为（0，）； 当h<B时，点P的坐标为（0,0）.其中h=. 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=A,所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为（0, ）， 且AM=BC=CM. 当P在射线MA上，记P为P1； 当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2.若h=≥B（如图C），则点M在线段AO上.这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥MA， 所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小. 若h=<B（如图d），则点M在线段AO外. 这时P到A、B、C、三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小. 答：当≥B时，点P的位置在△ABC的外心（0, ）;