Question

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求证：平面MOE∥平面PAC.

(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.

(3)设二面角M—BP—C的大小为θ，求cos θ的值．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析 （3）

【解析】(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA.

因为PA?平面PAC，OE?平面PAC，

所以OE∥平面PAC.

因为OM∥AC，

因为AC?平面PAC，OM?平面PAC，

所以OM∥平面PAC.

因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC.

(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

因为PA⊥平面BAC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC.

因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC?平面PCB，

所以平面PAC⊥平面PCB.

(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C—xyz.

因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos 30°＝，AC＝1.

延长MO交CB于点D.

因为OM∥AC，

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，

CD＝CB＝.

所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M.

所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．

设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．

因为

所以，即

令z＝1，则x＝－2，y＝0.

所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，，1)．

所以cos〈m，n〉＝＝－.

因为二面角M—BP—C为锐二面角，所以cos θ＝.