Question

13．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 （a+b+c）（b+c-a）=3bc，（b+c）²-a²=3bc，化为：b²+c²-a²=bc．再利用余弦定理可得A=$\frac{π}{3}$．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等边三角形．即可得出．

解答 解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，∴（b+c）²-a²=3bc，化为：b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化为：b=c．
∴△ABC是等边三角形．
那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值=$\frac{π×{2}^{2}}{π×{1}^{2}}$=4．
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．