Question

7．已知函数f（x）=2x-2-ke^x．
（1）当x≥2时，f（x）≤0，求k的取值范围；
（2）当k=-1时，设g（x）=x²+f（x），求证：g（x）＞-3．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出k的范围即可；
（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=2-ke^x，
k≤0时，f′（x）＞0，
f（x）在[2，+∞）递增，无最大值，不合题意，
k＞0时，令f′（x）=0，解得：x=ln$\frac{2}{k}$，
0＜k＜$\frac{2}{{e}^{2}}$时，ln$\frac{2}{k}$＞2，
∴f（x）在[2，ln$\frac{2}{k}$）递增，在（ln$\frac{2}{k}$，+∞）递减，
f（x）_max=f（ln$\frac{2}{k}$）=$\frac{4}{k}$-2-2≤0，
解得：k≥1，不合题意；
k≥$\frac{2}{{e}^{2}}$时，f（x）在[2，+∞）递减，
f（x）_max=f（2）=2-ke²≤0，
解得：k≥$\frac{2}{{e}^{2}}$，符合题意，
综上，k∈[$\frac{2}{{e}^{2}}$，+∞）；
证明：（2）k=-1时，g（x）=x²+2x-2+e^x，
g′（x）=2x+2+e^x，g″（x）=2+e^x＞0，
故g′（x）在R递增，而g′（-1）≈0，
故g（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
∴g（x）＞g（-1）=-3+$\frac{1}{e}$＞-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．