Question

（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB

（1）求B；

（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）结合正弦定理，将已知条件转化为角的关系式，结合三角形内角关系，可求出B；（2）根据（1）求出的B的值，以及b＝2，利用余弦定理可建立a，c的关系式，利用基本不等式可得到ac的最大值，从而得到三角形面积的最大值.

试题解析：（1）由a＝bcosC＋csinB，结合正弦定理，

得：sinA＝sinBsinC＋sinCsinB

即：sin（B＋C）＝sinBsinC＋sinCsinB

∴ sinBcosC＋cosBsinC＝sinBsinC＋sinCsinB

于是tanB＝

而B∈（0，π），∴B＝；

（2）∵b＝2，B＝，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac

∵a2＋c2≥2ac

于是4＝a2＋c2－ac≥ac

即ac≤4

S△ABC＝acsinB≤

即△ABC面积的最大值为

考点：解三角形，正弦定理，余弦定理，面积公式，三角函数变换，基本不等式