Question

3．在如图所示的几何体中，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=AF=2EF=1，P是棱DF的中点．
（1）求证：BF∥平面ACP；
（2）求异面直线CE与AP所成角的余弦值；
（3）求二面角D-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O，连接OP，证明OP∥BF，然后证明BF∥平面ACP．
（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，求出相关点的坐标，求出$\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{CE}=（-\frac{1}{2}，-2，1）$，利用向量的数量积求解，异面直线CE与AP所成角的余弦值．
（3）求出平面DAP的一个法向量，平面APC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D-AP-C的余弦值即可．

解答 解：（1）连接BD交AC于O，连接OP∵四边形ABCD为矩形，

∴O为BD的中点，
又∵P是DF中点，
∴OP∥BF…（2分）∵OP?平面ACP，BF?平面ACP，
∴BF∥平面ACP…（3分）
（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，
依题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），$E（\frac{1}{2}，0，1）$，F（0，0，1），$P（0，1，\frac{1}{2}）$，…（4分）

易得$\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{CE}=（-\frac{1}{2}，-2，1）$…（5分）$cos＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{AP}＞=\frac{{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{AP}}}{{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{AP}|}}=-\frac{{2\sqrt{105}}}{35}$…（6分）
∴所求异面直线CE与AP所成角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{105}}}{35}$…（7分）
（3）由题意可知：AB⊥面PAD，
平面DAP的一个法向量为$\overrightarrow{AB}=（1，0，0）$…（8分）
又可解得$\overrightarrow{AC}=（1，2，0），\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$
故设平面APC的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$，不妨令x=2，可得$\overrightarrow n=（2，-1，2）$…（10分）
于是$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{2}{3}$，
所以二面角D-AP-C的余弦值为$\frac{2}{3}$…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．