Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，则f（-1）=f（0）=f（1）=0，则可以将定义域R分为（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）四个区间结合单调性进行讨论，可得答案．

解答： 解：若f（x）在（-∞，-1）上为减函数，
则f（x）＞0，f'（x）＜0
则xf′（x）-f（x）＞0不成立
若f（x）在（-∞，-1）上为增函数，
则f（x）＜0，f'（x）＞0
则xf′（x）-f（x）＞0成立
故：f（x）在（-∞，-1）上时，则f（x）＜0
若f（x）在（-1，0）上为增函数，
则f（x）＜0，f'（x）＞0
则xf′（x）-f（x）＞0不成立
若f（x）在（-∞，-1）上为减函数，
则f（x）＞0，f'（x）＜0
则xf′（x）-f（x）＞0成立
故：f（x）在（-1，0）上时，则f（x）＞0
又∵奇函数的图象关于原点对称，
则f（x）在（0，1）上时，则f（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上时，则f（x）＞0
综合所述，不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故选：C

点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．