Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若，求点到平面的距离．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等；要证线线垂直，可通过征到线面垂直得到．（Ⅲ）因平面，故过E作PA的平行线即可找到到平面的距离

试题解析：（Ⅰ）由平面可得PA?AC，

又，所以AC?平面PAB，

所以． 4分

（Ⅱ）连BD交AC于点O，连EO，

则EO是△PDB的中位线，

所以EOPB．

又因为面，面，

所以PB平面． 8分

（Ⅲ）取中点，连接．

因为点是的中点，所以．

又因为平面，所以平面．

所以线段的长度就是点到平面的距离．

又因为，所以．

所以点到平面的距离为． 12分

考点：线面平行、线面垂直的判定与性质