Question

在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：

（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长;

（II）该最短路线的长及的值;

（III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

Answer 1

解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形

  其对角线长为.

 （II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C₁的最短路线，其长为

    .

    ，,

    故.

    （III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线

    在中,

                                            

    又,

    由三垂线定理得.

    就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）,

    侧面是正方形,

    .

    故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为.