Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$＞0，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则b+c的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 首先通过正弦定理求出b=sinB，c=sinC，将所求转化为B的三角函数的形式；再由已知数量积得到B为钝角，结合三角函数的有界性求得范围．

解答 解：∵A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$＞0，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$＞0，所以∠B为钝角，
由正弦定理可得b=$\frac{a}{sinA}×sinB$=sinB，同理C=sinC．
三角形ABC中，A=$\frac{π}{3}$，
∴C+B=$\frac{2π}{3}$．
b+c=sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}-$B）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{2}$＜B＜$\frac{2π}{3}$
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{2π}{3}，\frac{5π}{6}$）
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴b+c的取值范围为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}$）；
故选D．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用．注意角度的范围，考查计算能力．