题目内容

函数：已知函数f（x）=ex-lnx．若函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=
1
2
对称，则化简下式[f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)]-[g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
)]=
0
0
．
分析：由f（x）=ex-lnx，且f（x）与g（x）关于x=
1
2
对称可得g（x）=e1-x-ln（1-x），而f（x）+f（1-x）-[g（x）+g（1-x）]
=ex-lnx+e1-x-ln（1-x）-[e1-x-ln（1-x）+ex-lnx]=0，代入可求
解答：解：∵f（x）=ex-lnx，且f（x）与g（x）关于x=
1
2
对称
∴g（x）=e1-x-ln（1-x）
∴当x1+x2=1且x1，x2＞0时，f（x）+f（1-x）-[g（x）+g（1-x）]
=ex-lnx+e1-x-ln（1-x）-[e1-x-ln（1-x）+ex-lnx]
=0
∴[f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)]-[g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
)]
=[f（
1
2012
）+f（
2011
2012
）-f（
1
2012
）-g(
2011
2012
)]+…+[f（
1005
2012
）+f(
1007
2012
)-g(
1005
2012
)-g(
1007
2012
)]+
1
2
[f(
1006
2012
+f(
1006
2012
)-g(
1006
2012
)-g(
1006
2012
)]=0
故答案为0
点评：本题主要考查了利用对称性求解函数的解析式，函数值的求解，解答本题的关键是由已知函数发现其和的规律
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x），当x、y∈R时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y）．
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）如果x＜0时，f（x）＞0，并且f（2）=-1，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m2+am-5对任意a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，f（x）=e-x-ex2+a，则函数f（x）在x=1处的切线方程为（　　）
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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