Question

5．在底面为正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=2，AA₁⊥平面ABC，E，F，G分别为BB₁，AB，AC的中点．
（Ⅰ）求证：BG∥平面A₁EC₁；
（Ⅱ）若AA₁=2$\sqrt{2}$，求二面角A₁-EC-F的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A₁C的中点H，连结HG，EH，推导出四边形EHGB为平行四边形，从而BG∥EH，由此能证明BG∥平面A₁EC．
（Ⅱ）以F为原点，FB为x轴，FC为y轴，过F作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-EC-F的大小．

解答 证明：（Ⅰ）取A₁C的中点H，连结HG，EH，
∴HG∥A₁A，HG=$\frac{1}{2}$A₁A，
又E为BB₁的中点，∴BE∥HG，BE=HG，
∴四边形EHGB为平行四边形，∴BG∥EH，
又EH?平面A₁EC，BG?平面A₁EC，
∴BG∥平面A₁EC．
解：（Ⅱ）以F为原点，FB为x轴，FC为y轴，过F作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，设AA₁=a，
则F（0，0，0），A₁（-1，0，a），E（1，0，$\frac{a}{2}$），C（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{FE}$=（1，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（2，0，-$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，$\sqrt{3}$，-a），
设平面ECF法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FE}=x+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（-a，0，2），
设平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=2{x}_{1}-\frac{a}{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}={x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z=4，得$\overrightarrow{n}$=（a，$\sqrt{3}a$，4），
设二面角A₁-EC-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{8-{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+4}•\sqrt{4{a}^{2}+16}}$，
当AA₁=a=2$\sqrt{2}$时，cosθ=0，即θ=90°，
∴二面角A₁-EC-F的大小为90°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．