Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC=2，E是PB上的点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求二面角P-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥PC，AC⊥BC，得到AC⊥平面PBC，然后证明平面EAC⊥平面PBC．
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，求出面PAC的法向量．面EAC的法向量，然后求解二面角的余弦函数值．

解答 解：（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，AB=2，AD=CD=1，
∴$AC=BC=\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），设P（0，0，2），
则$E（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，1}），\overrightarrow{CA}=（{1，1，0}）$，取$\overrightarrow m=（{1，-1，0}）$，则$\overrightarrow m•\overrightarrow{CP}=\overrightarrow m•\overrightarrow{CA}=0$，
∴$\overrightarrow m$为面PAC的法向量．
设$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$为面EAC的法向量，则$\overrightarrow n•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+2z=0\end{array}\right.$，取x=2，y=-2，z=-2，
则$\overrightarrow n=（{2，-2，-2}），cosθ=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判断．考查空间想象能力以及计算能力．