Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求A到平面PBC的距离．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BD和AC交于点O，连接EO．运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）运用棱锥的体积公式，求得AB，作AH⊥PB交PB于H，证得AH⊥平面PBC，运用直角三角形PAB中面积相等，可得AH的长，即为所求；
（Ⅲ）推得∠APH为直线AP与平面PBC所成角，在Rt△APH中，运用正弦函数的定义，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）证明：设BD和AC交于点O，连接EO．
∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点．
又∵E为PD的中点，∴EO∥PB        …（3分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．                    …（5分）
（Ⅱ）V_P-ABD=$\frac{1}{6}$PA•AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AB．由V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得AB=$\frac{3}{2}$．…（7分）
作AH⊥PB交PB于H．
由BC⊥AB，BC⊥PA，知BC⊥平面PAB．
∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．
又AH=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴A到平面PBC的距离为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：AH⊥平面PBC．
∴∠APH为直线AP与平面PBC所成角…（12分）
在Rt△APH中，AH=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，AP=1，
∴sin∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．…（15分）

点评 本题考查线面平行的判定和点到平面得到距离，以及线面角的求法，注意运用转化思想，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．