Question

11．已知抛物线y²=8x的准线过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点，则当$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值时，双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根据抛物线和双曲线的方程求出c=2，再根据基本不等式求出a的值，根据离心率计算即可．

解答 解：抛物线y²=8x的准线为x=-2，
由题意可得c=2，
∴a²+b²=4，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+b²）=$\frac{1}{4}$（4+1+$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$）=$\frac{9}{4}$，当且仅当a²=2b²，即a=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$时取等号，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

点评 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，双曲线的标准方程，以及基本不等式，属于中档题