Question

15．如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=2$\sqrt{3}$，在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的内外表面积之比为$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 旋转体为圆锥内部挖去一个内切球，计算出球的半径和圆锥的底面半径即可代入面积公式计算．

解答 解：在Rt△ABC中，∵C=90°，B=60°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=3．
∴几何体的外表面为S₁=πBC²+π×BC×AB=9π．
设圆O的半径为r，由圆的性质得BM=BC=$\sqrt{3}$，∴AM=$\sqrt{3}$，OM=r，
∵Rt△AOM∽Rt△ABC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{OM}{BC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{r}{\sqrt{3}}$，解得r=1．
∴几何体的内表面积S₂=4πr²=4π．
∴几何体的内外表面积之比为$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{4}{9}$．
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了圆锥与内切球的关系，面积计算，属于中档题．