Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．证明：
（1）AP∥平面BED；
（2）平面APC⊥平面BED．

Answer 1

分析 （1）取AC，BD的交点O，连结OE，根据中位线定理得出OE∥AP，故而AP∥平面BDE；
（2）由平面PBC⊥平面ABCD得出PC⊥平面ABCD，故而PC⊥BD，由菱形性质得出BD⊥AC，故而BD⊥平面PAC，于是平面APC⊥平面BED．

解答 证明：（1）设AC∩BD=O，连结OE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为BD中点．又E是PC的中点，
∴AP∥OE．又AP?平面BED，OE?平面BED．
∴AP∥平面BED．
（2）平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，
∴PC⊥平面ABCD．又BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD．
∵平面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又PC?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PC=C，
∴BD⊥平面APC．又BD?平面BED，
∴平面PAC⊥平面BED．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质与判定，属于中档题．