Question

7．若直线y=x-b与曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ∈[0，π]）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（　　）

• A． （2-$\sqrt{2}$，1]
• B． （2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，2-$\sqrt{2}$）∪（2+$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [-1，$\sqrt{2}$-2）

Answer 1

分析 求出曲线的普通方程，由公共点个数可知直线与圆相交，求出圆心到直线的距离d，令d＜r解不等式得出b的范围．

解答 解：曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ∈[0，π]）的普通方程为（x-2）²+y²=1（y≥0）．
∴曲线的圆心为A（2，0），半径为1．
直线y=x-b的一般方程为x-y-b=0．
∵曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ∈[0，π]）有两个不同的公共点，
∴圆心A（2，0）到直线l的距离d＜1．
∴$\frac{|2-b|}{\sqrt{2}}$＜1，解得2-$\sqrt{2}$＜b＜2+$\sqrt{2}$．
过（1，0）时，b=1，
∴实数b的取值范围是2-$\sqrt{2}$＜b≤1．
故选A．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系．属于基础题．