Question

20．已知抛物线C₁：y²=2px与圆C₂：（x-2）²+y²=4交于O，A，B三点，且△OAB为直角三角形．
（1）求C₁的方程；
（2）过坐标原点O作直线l分别交C₁，C₂于点F，E，若E是OF的中点，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题目条件求得点A的坐标，即可求得抛物线的方程；
（2）设出直线的方程，将其与抛物线的方程进行联立，求得点E的坐标，代入圆C₂的方程，求得k的值即可．

解答 解：（1）因为抛物线C₁：y²=2px与圆C₂：（x-2）²+y²=4都关于x轴对称，
所以交点A，B关于x轴对称，
又因为△OAB为直角三角形，所以AB为圆C₂的直径，
不妨设点A在第一象限，则可得点A（2，2），代入抛物线方程得p=1，
所以抛物线C₁的方程为y²=2x．---------------（5分）
（2）根据题意可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=kx，
设点E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y^2}=2x}\end{array}}\right.$，可解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_F}=\frac{2}{k^2}}\\{{y_F}=\frac{2}{k}}\end{array}}\right.$，
因为E是OF的中点，所以$\left\{{\begin{array}{l}{{x_E}=\frac{1}{k^2}}\\{{y_E}=\frac{1}{k}}\end{array}}\right.$，代入圆C₂方程得${（\frac{1}{k^2}-2）^2}+\frac{1}{k^2}=4$，
整理可得$\frac{1}{k^4}-\frac{3}{k^2}=0$，又因为k≠0，所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以直线l的方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．-------------（12分）

点评 本题考查抛物线的方程的求法，考查抛物线与直线的综合，属于中档题．