Question

16．已知函数g（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-b）x．
（Ⅰ）若g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为8x-2y-3=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=a+1，x₁，x₂是函数g（x）的两个极值点，求证：g（x₁）+g（x₂）+4＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的导数，得到g（1），g′（1），根据系数相等求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出x₁，x₂是方程x²-ax+a=0的根，得到x₁+x₂=a，x₁•x₂=a，根据△＞0，求出a＞4，于是g（x₁）+g（x₂）+4=alna-$\frac{1}{2}$a²-a+4，令h（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²-x+4，（x＞4），根据函数的单调性求出h（x）＜h（4），从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）函数g（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-b）x，x＞0，
g′（x）=$\frac{a}{x}$+x+（1-b），g（1）=$\frac{3}{2}$-b，g′（1）=a-b+2，
∴切线方程是：y-$\frac{3}{2}$+b=（a-b+2）（x-1），
即：2（a-b+2）x-2y-2a-1=0，
又切线方程为8x-2y-3=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=4}\\{2a+1=3}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-1；
（Ⅱ）若b=a+1，则g（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-ax，（x＞0），
g′（x）=$\frac{a}{x}$+x-a=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$，（x＞0），
若x₁，x₂是函数g（x）的两个极值点，
则x₁，x₂是方程x²-ax+a=0的根，
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=a，
而△=a²-4a＞0，解得：a＞4或a＜0，
显然a＞4，
∴g（x₁）+g（x₂）+4=alnx₁+$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$-ax₁+alnx₂+$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$-ax₂+4=alna-$\frac{1}{2}$a²-a+4，
令h（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²-x+4，（x＞4），
h′（x）=lnx-x，h″（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，
∴h′（x）在（4，+∞）递减，
∴h′（x）_max＞h′（4）=ln4-4＜0，
∴h（x）在（4，∞）递减，
∴h（x）＜h（4）=8（ln2-1）＜0，
∴g（x₁）+g（x₂）+4＜0．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查二次函数的性质，导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．